コラム

２０２２年度大学共通テスト数学ＩＡ問１の解説

[1]　実数\(a, b, c\)が \begin{equation} a+b+c=1 \label{e1} \end{equation} および \begin{equation} a^2+b^2+c^2=13 \label{e2} \end{equation} を満たしているとする．
(1) \(\left( a+b+c \right)^2 \) を展開した式において\ref{e1})と(\ref{e2})を用いると \[ ab+bc+ca=\fbox{アイ} \] であることがわかる．よって \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\fbox{ウエ} \] である．

解説
(1)より \[ (a+b+c)^2=1^2=1 \] また \[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1 \] (2)より \[ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=13+2(ab+bc+ca)=1 \] これより\(ab+bc+ca=-6\)なので\(\fbox{アイ}\)は\(-6\)．
つぎに\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\)を展開すると\(a^2,b^2,c^2\)が二回づつと\(-2ab-2bc-2ca\)に展開されるので \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2\times 13-2\times (-6)=38 \] これより\(\fbox{ウエ}\)は\(38\)．

解説
\(x+y=b-c+c-a=b-a=-2\sqrt{5}\)なので\(\fbox{オカ}\)は\(-2\)．
次に\(a-b=2\sqrt{5}, b-c=x, c-a=y\)を\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=38\)に代入する．
\((2\sqrt{5})^2+x^2+y^2=38\)より\(x^2+y^2=18\)なので\(\fbox{キク}\)は\(18\)．
\((a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}xy\)より\(xy\)を求めれば良い．\((x+y)^2=(-2\sqrt{5})=20\)と\((x+y)^2=x^2+y^2+2xy=18+2xy\)より\(xy=1\)なので\(\fbox{ケ}\)は\(2\)．

文意よりキャンプ場\(\rm{A}\)と山頂\(\rm{B}\)，点\(\rm{C}\)は\(\angle\rm{C}=90^\circ\)の直角三角形の頂点である．ところで太郎は水平方向を縮尺\(100,000\)分の一，垂直方向を縮尺\(25,000\)分の一で計算したたため，垂直方向を\(4\)倍（すなわち\(\frac{100000}{25000}=4\))大きく見積もっていることになる．
これより\(\rm{BC}\)を\(4\)分の\(1\)にすれば正しい角度を求めることが出来る．\(\rm{AC}\)を固定して\(\rm{BC}\)を4分の1にすると\(\frac{\rm{BC}}{\rm{AC}}=\rm{tan}\theta\)は \(4\)分の\(1\)になる．
表より\(\rm{tan} 16^\circ=0.2867 \)なので\(4\)分の\(1\)にすると\(0.071675\)より四捨五入して\(\fbox{コ}.\fbox{サシス}\)は\(0.072\)．\(\rm{tan \theta}\)がこの値に最も近いのは\(\rm{tan}4^\circ=0.6999\)．また\(\rm{tan} \theta \)は \( 0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ \)で単調増加関数なので\(\fbox{セ}\)は\(2\)，すなわち\(4^\circ\)より大きく\(5^\circ\)より小さい

[3] 外接円の半径が\(3\)である\(\triangle \rm{ABC}\)を考える．点\(\rm{A}\)から直線\(\rm{BC}\)に引いた垂直線と直線\(\rm{BC}\)との交点を\(\rm{D}\)とする．
(1)\(\rm{AB}=5\)，\(\rm{AC}=4\)とする．このとき \[ \rm{sin}\angle \rm{ABC}=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}, \rm{AD}=\frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テ}} \] である．
(2) \(2\)辺\(\rm{AB}\)，\(\rm{AC}\)の長さの間に\(2\rm{AB}+\rm{AC}=14\)の関係があるとする．
このとき，\(\rm{AB}\)の長さのとり得る値の範囲は\(\fbox{ト} \leqq \rm{AB} \leqq \fbox{ナ}\)であり \[ \rm{AD}=\frac{\fbox{ニヌ}}{\fbox{ネ}}\rm{AB}^2+\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}}\rm{AB} \] と表せるので，\(\rm{AD}\)の長さの最大値は\(\fbox{ヒ}\)である．

解説
外接円の半径を\(\rm{R}\)とすると正弦定理より \[ \frac{\rm{AC}}{\rm{sin}\angle \rm{ABC}}=2R \] \(\rm{AC}=4, R=3\)より\(\frac{4}{\rm{sin}\angle \rm{ABC}}=6\)なので\(\rm{sin}\angle \rm{ABC}=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}=\frac{2}{3}\)．
また\(\rm{sin}\angle \rm{ABC}=\frac{\rm{AD}}{\rm{AB}}\)より\(\rm{AD}=\rm{AB}\rm{sin}\angle \rm{ABC}=\frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テ}}=\frac{10}{3}\)．
つぎに\(2\rm{AB}+\rm{AC}=14\)の条件において\(\rm{AB}，\rm{AC}\)はともに外接円の直径をこえることはできない．すなわち\(\rm{AB}，\rm{AC} \leqq 2\rm{R}=6 \)より\(\rm{AC}=14-2\rm{AB} \leqq 6\)なので \(\rm{AB} \geqq 4\)となるので\(\fbox{ト}\)は\(4\)で\(\fbox{ナ}\)は\(6\)となる．
つぎにここまで得られた \[ \rm{sin}\angle \rm{ABC}=\frac{\rm{AD}}{\rm{AB}}, \frac{AC}{\rm{sin}\angle \rm{ABC}}=2R, 2\rm{AB}+\rm{AC}=14 \] の式より\(\rm{sin}\angle \rm{ABC}，\rm{AC}\)を消去すると \[ \rm{AD}=-\frac{1}{3}\rm{AB}^2+\frac{7}{3}\rm{AB} \] を得る．よって\(\frac{\fbox{ニヌ}}{\fbox{ネ}}=\frac{-1}{3}，\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}}=\frac{7}{3}\)．
この式は \[ \rm{AD}=-\frac{1}{3}\left(\rm{AB}-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{12} \] となるので\(\left(\frac{7}{2} ,\frac{49}{12} \right)\)に頂点をもつ二次関数となる．この式は\(4 \leqq \rm{AB} \leqq 6\)の条件のもとで\(\rm{AB}=4\)で最大値\(\rm{AD}=4\)となるので\(\fbox{ヒ}\)は\(4\)．

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