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コラム
3円が交わる弦の交点
設問 3つの円$\rm{A}$，$\rm{B}$，$\rm{C}$がある．$\rm{A}$と$\rm{B}$，$\rm{B}$と$\rm{C}$，$\rm{C}$と$\rm{A}$はそれそれ2箇所で交わっている．2つの円の交点を通る3つの直線が一点で交わることを証明せよ．
$\rm{A}$の円の中心を$(x_1, y_1)$，半径を$r_1$とする．円の方程式は
\[ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2 \notag \]展開して
\[ x^2+y^2-2x_1x-2y_1y+x_1^2+y_1^2-r_1^2=0 \notag \]$a_1=-2x_1$, $b_1=-2y_1$, $c_1=x_1^2+y_1^2+r_1^2$とすると
\[ x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0 \]$\rm{B}$の円の中心を$(x_2, y_2)$，半径を$r_2$，$\rm{C}$の円の中心を$(x_3, y_3)，半径を$r_3$とし同様の変形を行うと
\[ x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0 \] \[ x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0 \]円$\rm{A}$と$\rm{B}$の交点座標をそれぞれ$(p_1, q_1)$，$(p_2, q_2)$とする．それぞれの座標値は(1)，(2)式を満たすので
\[ (a_1-a_2)p_1+(b_1-b_2)q_1+(c_1-c_2)=0 \] \[ (a_1-a_2)p_2+(b_1-b_2)q_2+(c_1-c_2)=0 \]となる．さて$(p_1, q_1)$，$(p_2, q_2)$は
\[ (a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+(c_1-c_2)=0 \]の直線上に存在するので，これが$\rm{A}$，$\rm{B}$の2つの円の交点を結ぶ直線の方程式となる．同様に$\rm{B}$，$\rm{C}$と$\rm{A}$，$\rm{B}$の交点を結ぶ直線の方程式は
\[ (a_2-a_3)x+(b_2-b_3)y+(c_2-c_3)=0 \] \[ (a_3-a_1)x+(b_3-b_1)y+(c_3-c_1)=0 \]ここで(4), (5)式の直線の交点を$(p_0, q_0)$とするとこの点は両式を満たすので
\[ (a_1-a_2)p_0+(b_1-b_2)q_0+(c_1-c_2)=0 \] \[ (a_2-a_3)p0+(b_2-b_3)q0+(c_2-c_3)=0 \]この2式を足し合わせると
\[ (a_1-a_3)p_0+(b_1-b_3)q_0+(c_1-c_3)=0 \]よって(6)式が得られることから，(4)〜(6)の3つの直線が一箇所で交わることが証明された．
