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コラム

点と直線の距離の公式についての一考察

点と直線の距離の求め方は,高校数学でなくとも中学生でも理解できる内容であるが,求められた式から点と直線の距離を直感的に把握することはなかなか分かりづらい.特に分子の絶対値の中がなぜ点と直線の係数の掛け算のような形になるのか,なるべくそれがわかるような説明方法を考察してみた.

ここでは点を通る新しい座標系を導入する.結果この座標系では直線と原点の距離を求めることになる.以下証明.

A(p,q)と直線B:ax+by+c=0の距離lを求めよう.さてはじめに点(p,q)を通る新しい座標系xyを考える.すなわち (1)x=xpy=yq

座標系xyでは直線Ba(x+p)+b(y+q)+c=0よりax+by+(ap+bq+c)=0.また点Aは原点なので距離lは原点と直線の距離を求めればよい.ここで直線Bに直行する直線Cの方程式を求めよう.直線Bの傾きはa/bなので求める直線Cの方程式は (2)y=bax

これより直線BCの交点Dを求めると(a(ap+bq+c)a2+b2,b(ap+bq+c)a2+b2)

よって原点と点Dの距離lは三平方の定理より (3)l={a(ap+bq+c)a2+b2}2+{b(ap+bq+c)a2+b2}2=a2(ap+bq+c)2+b2(ap+bq+c)2a2+b2=a2+b2|ap+bq+c|a2+b2=|ap+bq+c|a2+b2

この証明方法だと距離lの分子の絶対値にあらわれるap+bqの項は点Aを原点とみなした座標変換の帰結であることを明確に示すことができた.さて原点と直線Bとの距離はp,q0なので (4)|c|a2+b2

原点からの距離を表すこの式はとてもすっきりしている.2乗するとc2/(a2+b2)となり,きれいな数式が現れた.さてせっかく求めた式(4)についてもう少し考察してみよう.点と直線でも原点から直線の距離に限ると理解しやすそうである.ところで直線Bx軸,y軸とそれぞれc/a,c/bで交わる.この2点をE,Fとしよう.ところでここでは直線のを標準形としてax+by+c=0を用いている.なぜ一般的な直線の方程式y=ax+bで考えないのだろうか.それこそ,前者の標準形が式(4)の対称性を生み出すからだ.ところで先程の2点E,Fx軸,y軸との交点は定数項cに比例していることがわかる.そして変数x,yの係数a,bは,cの値を固定して考えた場合,小さくなると点E,Fは原点から遠ざかり,大きくなると近づく.すなわちa,bの値は原点と直線の距離が反比例しているので式(4)において係数a,bは分母に現れることがわかる.これが式(4)の数学的解釈だ.

(4)を三角形の面積から求めてみよう.AEFは直角三角形なのでその面積は|(c/a)×(c/b)×1/2|となる.さて直線EFの距離は(c/a)2+(c/b)2より (5)12×l×(c/a)2+(c/b)2=12×|ca×cb|l=|ca×cb|(c/a)2+(c/b)2l=|c|a2+b2

以上.

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