コラム
点と直線の距離の公式についての一考察
点と直線の距離の求め方は,高校数学でなくとも中学生でも理解できる内容であるが,求められた式から点と直線の距離を直感的に把握することはなかなか分かりづらい.特に分子の絶対値の中がなぜ点と直線の係数の掛け算のような形になるのか,なるべくそれがわかるような説明方法を考察してみた.
ここでは点を通る新しい座標系を導入する.結果この座標系では直線と原点の距離を求めることになる.以下証明.
点と直線の距離を求めよう.さてはじめに点を通る新しい座標系を考える.すなわち
座標系では直線はより.また点は原点なので距離は原点と直線の距離を求めればよい.ここで直線に直行する直線の方程式を求めよう.直線の傾きはなので求める直線の方程式は
これより直線との交点を求めると
よって原点と点の距離は三平方の定理より
この証明方法だと距離の分子の絶対値にあらわれるの項は点を原点とみなした座標変換の帰結であることを明確に示すことができた.さて原点と直線との距離はがなので
原点からの距離を表すこの式はとてもすっきりしている.2乗するととなり,きれいな数式が現れた.さてせっかく求めた式についてもう少し考察してみよう.点と直線でも原点から直線の距離に限ると理解しやすそうである.ところで直線は軸,軸とそれぞれで交わる.この2点をとしよう.ところでここでは直線のを標準形としてを用いている.なぜ一般的な直線の方程式で考えないのだろうか.それこそ,前者の標準形が式の対称性を生み出すからだ.ところで先程の2点の軸,軸との交点は定数項に比例していることがわかる.そして変数の係数は,の値を固定して考えた場合,小さくなると点は原点から遠ざかり,大きくなると近づく.すなわちの値は原点と直線の距離が反比例しているので式において係数は分母に現れることがわかる.これが式の数学的解釈だ.
式を三角形の面積から求めてみよう.は直角三角形なのでその面積はとなる.さて直線の距離はより
以上.
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